Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Thứ 5 này là em nộp bài rồi. Mà còn 3 bài nữa không biết giải. Các pro giải giúp em nhé. Em chân thành cảm ơn!Bài 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n+1}{n(n-1)}\left ( \frac{2x+1}{1-x} \right )^{n}$Bài 2: Cho hàm số$y=\sqrt{1-e^{-x^{2}}}$Chứng minh HS không có đạo hàm tại x=0Bài 3: http://no6.upanh.com/b6.s29.d3/52a4c623c2af6a902c73eccddcf50ef5_47082596.imag0051.jpg(bài 3 em soạn không đc, các bác xem đề = hình ảnh dùm em)Chân thành cảm ơn!


Bạn đang xem: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

#2phodinhvl

phodinhvl

Lính mới

Thành viên2 Bài viết

#3Crystal

Crystal

ANGRY BIRDS

Hiệp sỹ5534 Bài viếtGiới tính:NamĐến từ:Huế


Xem thêm: Người Tình Không Bao Giờ Cưới

Thứ 5 này là em nộp bài rồi. Mà còn 3 bài nữa không biết giải. Các pro giải giúp em nhé. Em chân thành cảm ơn!Bài 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n+1}{n(n-1)}\left ( \frac{2x+1}{1-x} \right )^{n}$

$\boxed{\textbf{LỜI GIẢI}}$Đặt $X = \frac{{2x + 1}}{{1 - x}},\,\,x \ne 1$, khi đó ta có chuỗi $\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}} {X^n}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$ là chuỗi lũy thừa.Ta có: ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{{n + 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}}$Suy ra: \<\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}.\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{n + 2}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = 1\>Suy ra, bán kính hội tụ của chuỗi là $r = 1$. Khoảng hội tụ của chuỗi là $\left( { - 1;1} \right)$$ \bullet $ Tại $X = - 1$, ta có chuỗi: $\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}{{\left( { - 1} \right)}^n}} $ là chuỗi đan dấu với ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}$Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}} = 0\\\left( {{u_n}} \right)\,\,\,\text{là dãy giảm}\end{array} \right.$Theo tiêu chuẩn Leibniz, chuỗi hội tụ.$ \bullet $ Tại $X = 1$, ta có chuỗi: $\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}} $, dễ thấy chuỗi này hội tụ $\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}} = 0} \right)$Vậy miền hội tụ của chuỗi $\left( * \right)$ là $\left< { - 1;1} \right> \Rightarrow - 1 \le X \le 1 \Rightarrow - 1 \le \frac{{2x + 1}}{{1 - x}} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\\frac{{2x + 1}}{{1 - x}} \ge - 1\\\frac{{2x + 1}}{{1 - x}} \le 1\end{array} \right.$Bạn giải hệ bất phương trình trên tìm được miền giá trị của $x$. Từ đó suy ra được miền hội tụ của chuỗi hàm đã cho là $\left< {a;b} \right>$

#4Draconid

Draconid

Binh nhất

Thành viên46 Bài viếtGiới tính:NamĐến từ:ĐH Kinh Tế Quốc Dân



Xem thêm: Bạn Có Hiểu Rõ Măng Tây Là Gì Ngon? Cách Sơ Chế Và Chế Biến Măng Tây Giòn Ngon

Câu 2:Ta có:$f'\left ( 0 \right )=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt<>{1-e^{-x^{2}}}}{x}$Xét $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt<>{1-e^{-x^{2}}}}{x}$=$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\sqrt{\frac{1-e^{-x^{2}}}{x^{2}}}=1$$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-\sqrt{\frac{1-e^{-x^{2}}}{x^{2}}}=-1$Suy ra $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f'\left ( x \right )\neq \lim_{x\rightarrow 0^{-}}f'\left ( x \right )$Hàm số ko có đạo hàm tại x=0Câu 3: ví dụ nhé$f'\left ( x,-1 \right )=\lim_{y\rightarrow -1}\frac{f(x,y)-f(x,-1)}{y+1}$Khai triển ra ta được: $f'\left ( x,-1 \right )=\frac{-2x}{x^{2}+1}$